分治法解决棋盘覆盖问题

在一个2k x 2k ( 即:2^k x 2^k )个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其他方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中,要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

    这里我们用分治法解决该问题。分治法是把一个规模很大的问题分解为多个规模较小、类似的子问题,然后递归地解决所有子问题,最后再由子问题的解决得到原问题的解决。
【解题思路】:将2^k x 2^k的棋盘,先分成相等的四块子棋盘,其中特殊方格位于四个中的一个,构造剩下没特殊方格三个子棋盘,将他们中的也假一个方格设为特殊方格。如果是:

左上的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格
右上的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格
左下的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格
右下的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格

当然上面四种,只可能且必定只有三个成立,那三个假设的特殊方格刚好构成一个L型骨架,我们可以给它们作上相同的标记。这样四个子棋盘就分别都和原来的大棋盘类似,我们就可以用递归算法解决。

代码如下:

#include<iostream.h>

int tile=1;

int board[100][100];

void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)

{

       if(size==1)

              return;

       int t=tile++;

       int s=size/2;

       if(dr<tr+s && dc<tc+s)

              chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);

       else

       {

              board[tr+s-1][tc+s-1]=t;

              chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);

       }

       if(dr<tr+s && dc>=tc+s)

              chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);

       else

       {

              board[tr+s-1][tc+s]=t;

              chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);

       }

       if(dr>=tr+s && dc<tc+s)

              chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);

       else

       {

              board[tr+s][tc+s-1]=t;

              chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);

       }

       if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)

              chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);

       else

       {

              board[tr+s][tc+s]=t;

              chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);

       }

}

 

void main()

{

       int size;

       cout<<"输入棋盘的size(大小必须是2n次幂): ";

       cin>>size;

       int index_x,index_y;

       cout<<"输入特殊方格位置的坐标: ";

       cin>>index_x>>index_y;

       chessBoard(0,0,index_x,index_y,size);

       for(int i=0;i<size;i++)

       {

              for(int j=0;j<size;j++)

                     cout<<board[i][j]<<"\t";

              cout<<endl; 

       } 

}

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